Tópicos simples em Relatividade Geral

ELASTICIDADE TEMPORAL

Cálculo simples da passagem do tempo

Enivaldo Bonelli, PhD (Cornell)

Resumo.

A partir da Lagrangiana relativista, para pequenas velocidades e pequenos potenciais, obtemos a relação entre a taxa de variação do tempo próprio de uma partícula e o tempo coordenado. Evitamos o modo simples convencional, onde considera-se a contribuição da gravidade e do ‘efeito da velocidade.’ Essa solução mistura a relatividade restrita e a geral e usa uma solução em duas etapas. Aqui usamos só uma etapa. Uma das conclusões interessantes é de que não existe o ‘efeito velocidade.’ A velocidade aparece ao quadrado, significando que é a energia cinética que importa, aliás, só energias importam. Como exemplos, apresentamos as soluções do tempo em um satélite em órbita circular, aplicamos o método à experiência ‘Gravity Probe A’, e ao Problema dos Gêmeos.

  1. Teoria

Apesar desse trabalho usar relatividade geral, isso é feito de maneira muito simples, usando aproximações da Lagrangiana para pequenas velocidades e pequeno potencial gravitacional.

O método que seguimos é o discutido por Landau & Lifchitz [1] em sua ‘Teoria do Campo.’ Começam com a Lagrangiana relativista para pequenas velocidades e potenciais, só que a energia cinética tem que ser expressa na relatividade restrita, ou seja,

L=−mc2+12 mv2−mφ(1){\Large \begin{array}{lc} {{\Large L = – mc^2 + \frac{1}{2} \ m v^2 – m\varphi} } & \quad (1) \end{array}}

Para comparar a passagem do tempo num referencial coordenado (‘absoluto’,) com o tempo do referencial que acompanha a partícula, igualamos as ações, expressas nos dois referenciais.

Uma ação infinitesimal referencial da partícula é definida como

dSτ=−mc2dτ(2)\begin{array}{lc} {\Large { dS_\tau = -mc^2 d\tau }} & \quad \Large (2) \end{array}

Uma ação infinitesimal no referencial coordenado é

dSt=Ldt(3){\begin{array}{lc} {\Large dS_t = Ldt } & \quad \Large (3) \end{array}}

A ação, em cada um dos dois referenciais, é dada pela integral desses elementos nos devidos tempos. O fato das integrais serem iguais não nos permite dizer que cada elemento infinitesimal seja igual ao outro, já que os tempos são diferentes.

Então, fazemos uma mudança d e variável, colocando ambos em termos de um dos tempos. Escolhemos d\tau.:

−mc2dτ=Ldtdτdτ{\Large -mc^2 d\tau = L \frac{dt}{d\tau}d\tau}

Disso, obtemos a relação entre os intervalos de tempo dos dois referenciais:

dτdt=−Lmc2{\LARGE \frac{d\tau}{dt} = -\frac{L}{mc^2}}

Essa equação é simples, mas merece uma discussão profunda. Ela mostra que a razão entre os intervalos temporais correspondentes é dado apenas pela Lagrangiana da partícula,no referencial coordenado. Isso mostra que não podemos adicionar uma constante à Lagrangiana nessas quatro dimensões, como podíamos fazer em três. Podíamos fazer isso, em mecânica clássica, porque o tempo era o mesmo em ambos referenciais.

Isso pode ficar mais bonito ainda, lembrando que

L=−mc2+L0{\Large L = -mc^2 + L_0}

onde Lo é a Lagrangeana clássica, T – V. Usamos isso na relação entre diferenciais temporais, obtemos

dτdt=1−L0mc2(7)\begin{array}{lc} {\LARGE \frac{d\tau}{dt} = 1 – \frac{L_0}{mc^2} } & \quad \Large (7) \end{array}

Como Lo = T – V e m aparece em ambas energias, essa relação é independente da massa da partícula.

A falha de Landau & Lifchitz: em seu livro ‘Teoria do Campo,’ eles se ‘livram’ da energia cinética, de uma maneira estranha: passam o termo da energia cinética para os coeficientes espaciais quando expressando o intervalo em termos das coordenadas e, tentam justificar que esse termo não é importante, nessa ordem de aproximação. Veremos, nos exemplos, um caso simples onde o termo cinético é da mesma ordem de grandeza que o termo potencial.

2. Exemplos

2.1 Partícula Livre

Nesse caso, a Lagrangiana clássica é somente a energia cinética, T=1/2mv2{\large T = 1/2 mv^2 }, de forma que a nossa equação para a relação entre os tempos dá

dτdt=1−v22c2{\Large \frac{d\tau}{dt} = 1 – \frac{v^2}{2c^2} }

Isso mostra que o tempo no referencial da partícula, τ{\Large \tau}, passa mais lentamente que o tempo , t{\Large t}, no referencial coordenado. É difícil se achar exemplos de partícula livre. Vamos passar ao próximo problema, de utilidade para nós, um satélite em órbita.

2.2 Satélite em órbita circular

A órbita aproximadamente circular facilita nossos cálculos. Considere que estamos tratando de um satélite de GPS. Uma pequena diferença entre seu tempo e o da Terra leva a grandes erros de navegação, podendo fazer as pessoas não acharem um caminho. Os relógios desses satélites tem que ser corrigidos, não ajustando os seus relógios físicamente, mas adicionando correções frequentemente aos tempos fornecidos. Mas de quanto devemos ajustar, e qual o erro que cometemos, em um dia, se não fizermos as correções. Isso veremos aseguir. Os passos que seguiremos são os seguintes:

A. Calculamos o atraso ou adiantamento do relógio do GPS com relação ao referencial coordenado,

B. Calculamos o atraso do relógio da superfície da Terra em relação ao tempo coordenado.

C. Subtraímos B de A, ou vice versa, para saber a diferença de tempo entre a Terra e o satélite.

Então, vamos lá!

Parte A] Vamos usar nossa equação de elasticidade, expressando a Lagrangiana clássica em termos das energias cinética,T{\Large T} , e potencial, V{\Large V} :

dτsdt=1−T−Vmc2{\LARGE \frac{d\tau_s}{dt} = 1 – \frac{T-V}{mc^2} }

Agora, usamos o teorema do virial, que diz que para um sistema fechado, a energia cinética média é menos a metade da energia potencial média. Como escolhemos órbita circular, o valor médio é igual ao instantâneo para as duas energias. Então, T=−V/2{\Large T = -V/2 } para os valores instantâneos. Daí, a Lagrangiana fica

L=T−V=−V/2−V=−32V.{\Large L=T-V=-V/2-V =-\frac{3}{2} V.}

Assim a relação temporal fica

dτsdt=1+ 32φsc2=1−32GMrsc2{\Large \frac{d\tau_s}{dt} = 1 +\ \frac{3}{2} \frac{\varphi_s}{c^2} = 1- \frac{3}{2}\frac{GM}{r_sc^2} }

onde φs{\Large \varphi_s } é o potencial gravitacional na posição do satélite e τs{\Large \tau_s} seu tempo próprio. A massa do satélite desaparece da equação. Não precisaríamos fazer o cálculo numérico ainda, mas vamos fazê-lo para termos uma ideia da relação do tempo do satélite com o da Superfície da Terra, que é calculado na próxima seção. O resultado do cálculo acima é,aproximadamente,

dτsdt=1−32GMrsc2=1−3,9×10−10{\Large \frac{d\tau_s}{dt} = 1- \frac{3}{2}\frac{GM}{r_sc^2} = 1 – 3,9 \times 10^{-10}}

realmente, muito próximo de 1.

Parte B] Agora, calculamos a passagem do tempo na superfície da Terra em relação ao referencial de referência, o mesmo usado para o satélite. A massa do ‘relógio’, na Terra não importa, assim como não importou a massa do satélite, no cálculo da parte A. Vamos usar a equação (A1), com os dados da superfície do planeta, na região equatorial:

dτsupdt=1−Tmc2+Vmc2=1−v22c2−GMRc2{\LARGE \frac{d\tau_{sup}}{dt} = 1 – \frac{T}{mc^2} + \frac{V}{mc^2} = 1- \frac{v^2}{2c²} -\frac{GM}{Rc^2}}

onde v é a velocidade da superfície terrestre, no equador, G, a constante gravitacional, M e R a massa e raio da Terra. A massa do relógio desaparece. Substituindo os valores das constantes obtemos, aproximadamente,

dτsupdt=1−7×10−10{\LARGE \frac{d\tau_{sup}}{dt} = 1-7\times 10^{-10}}

O termo cinético foi desprezado, pois é 70 vezes menor que o termo gravitacional. Isso exclui a necessidade de considerar a região equatorial: vale para toda a superfície da Terra.

Parte C] Como o tempo do satélite é visto, a partir da Terra? Para saber isso, subtraímos o tempo do satélite do tempo da Terra do tempo do satélite, dado pelos resultados acima. Continua tudo em termos do referencial externo padrão:

dτs−dτsup=3,1×10−10 dt{\LARGE d\tau_{s} – d\tau_{sup} = 3,1\times 10^{-10} \ dt}

Para dt igual a um segundo, essa diferença é muito pequena. Vamos integrar no tempo, durante um dia (24 horas em qualquer desses referenciais.) O valor da diferença será de

dτs−dτsup=27 μs{\LARGE d\tau_{s} – d\tau_{sup} = 27\ \mu s}

por dia. Durante esse dia, se não houver correção do tempo Terra-GPS, a navegação por GPS, no solo, terá um erro de 13,8 km! O suficiente para não se conseguir chegar ao destino. Com o passar do tempo, os erros ficam grandes demais. Assim, o fato de que, em geral, conseguimos chegar a um dado local, usando GPS, é a prova do sucesso da Relatividade Geral, na experiência do dia a dia.

3. Discussões finais

O método usado levanta muitas questões interessantes, sobre o método usado frequentemente, que não obtém as contribuições temporais da energia cinética e da energia potencial de uma só vez.

Uma outra questão interessante é que os resultados são os mesmos, se não fazemos a mudança de variável, antes de igualar as ações expressas em dois tempos diferentes. Por que funciona? Porque a pergunta que se faz é, qual é a relação entre os tempos para que possamos tem as ações iguais, a cada intervalo infinitesimal? Ou seja, a Lagrangiana é quem dá a relação buscada. Isso nos leva a mais um ítem interessante:

Aqui não podemos adicionar uma constante à Lagrangiana: a constante tem que ser exatamente -mc². Talvez a Lagrangiana clássica aceite constantes adicionais pois trata do movimento onde espaço e tempo são separados. No espaço-tempo, a Lagrangeana tem que ter a constante -mc². Tudo isso no caso especial que tratamos: pequenas velocidades e pequenos potenciais.

Referência:

L. Landau & E. Lifchitz, Théorie du Champ, Édition de La Paix, Moscou

E.B. 30/04/2025, Natal, RN, Brasil